Un PGCD qui dépend de la parité - Corrigé

Énoncé

Soit  \(n\) un entier naturel tel que \(n>1\) . On pose \(a=11n+13\) et \(b=n+1\) .

1. Écrire la division euclidienne de \(a\) par \(b\) .

2. En déduire que \(\mathscr{D}(a;b)=\mathscr{D}(n+1;2)\) .

3. Étudier la valeur de \(\mathrm{PGCD}(a;b)\) selon les valeurs de \(n\) .

Solution

1. La division euclidienne de \(a=11n+13\) par \(b=n+1\) s'écrit :
\(\begin{align*}(11n+13)=11(n+1)+2\end{align*}\)  avec \(0 \leqslant 2 (car \(n>1\) donc \(n+1>2\) ).

2. D'après le lemme d'Euclide, on a \(\mathscr{D}(a;b)=\mathscr{D}(b;2)=\mathscr{D}(n+1;2)\) .

3. Par définition \(\mathrm{PGCD}(a;b)\) est le plus grand élément de \(\mathscr{D}(a;b)=\mathscr{D}(n+1;2)\) . Or les diviseurs communs à \(n+1\) et \(2\) sont des diviseurs de \(2\) , donc se trouvent dans l'ensemble \(\left\lbrace -2;-1;1;2 \right\rbrace\) .

• Si \(n\) est pair, alors \(n+1\) est impair et donc n'est pas divisible par \(2\) .
  Dans ce cas, on a \(\mathscr{D}(n+1;2)=\left\lbrace -1;1 \right\rbrace\) et donc \(\mathrm{PGCD}(a;b)=1\) .
• Si \(n\) est impair, alors \(n+1\) est pair et donc divisible par \(2\) .
  Dans ce cas, on a \(\mathscr{D}(n+1;2)=\left\lbrace -2;-1;1;2 \right\rbrace\) et donc \(\mathrm{PGCD}(a;b)=2\) .